Demostración matemática de la fórmula de la cuota periódica
Del capital total de la hipoteca (P), en cada período:
- Se debe pagar al banco una determinada cantidad fija (a)
-
El banco obtiene un beneficio por el capital que aún no ha sido amortizado.
Este beneficio del banco viene determinado por el interés que el banco aplica en ese momento. En estos cálculos, si el interés sobre 100 es r (p.ej. 0.33 para indicar un 0.33%), se tomará z como
para obtener así directamente el incremento en la deuda sumado al capital.
Téngase en cuenta que como se hace un cálculo por cada período de pago, al ser el interés indicado normalmente anual, habrá que dividirlo por el número de períodos del año (meses, habitualmente). Así, para un 4% anual, sería:
Inicialmente, se conoce el capital de la hipoteca (P), el interés (r), y el plazo total en el que se debe pagar la hipoteca (n, correpondiente al número de períodos; meses, normalmente).
Interesa determinar la cuota (a) por cada período (mes).
De esta forma, en cada período se adeuda al banco: - el capital no devuelto hasta ese momento
- más los intereses devengados a favor del banco obtenidos sobre el capital aún no devuelto,
- menos el pago que se haga al final de ese período (a, la cantidad a averiguar).
Por tanto, al finalizar el primer período, se adeuda al banco:
Posteriormente, los cálculos se hacen sobre lo adeudado hasta ese momento:
Y continuando así, al finalizar el último período (n), y por tanto haber saldado la deuda con el banco (el último pago a se corresponde con lo adeudado en ese momento más sus intereses
, ya no se debe nada:
Como el último término se corresponde con una progresión geométrica, se puede reducir a:
Y despejando a, el pago por período, que es lo que interesaba averiguar:
Esta fórmula se puede reducir aún más, dividiendo numerador y denominador por zn, y sustituyendo z por la primera fórmula:
Recordando que a es la cuota periódica, P el capital, n el número de plazos, y r el interés de cada período:
El interés debe ser el valor que se aplica durante cada periodo. Así, si las cuotas se pagan mensualmente es necesario dividir el interés anual entre 12, para conocer cual es el tipo de interés mensual.
